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微積分準備方向

一、該科目的幾個基本概念必需學起來

微積分究竟要學習那些內容?初學者常為此所苦,答案是:凡是理工、商管科系學生碰到的問題,需要用數學當工具去處理的,都包含在微積分要念的範圍之內,舉其大者約有如下:

1.極限 2.連續
3.微分 4.微分應用(極限問題)
5.不定積分 6.黎曼和(Riemann Sum)
7.定積分 8.瑕積分
9.積分應用
(面積、弧長與旋轉體體積)
10.重積分
11.數列與級數 12.多變函數
13.向量 14.微分方程

由此看來,微積分的範圍極其廣泛!那麼是否每個學生都須學會以上所有內容呢 ? 答案是否定的,因為各科系的重點與應用的範圍,有時出入極大,因此考生必須針對報考系所的需求,集中心力去下功夫,才能竟其全功。

二、近年來該科目的轉變與必考重點

微積分章節範圍 必考重點
一、極限與連續
  1. 極限
  2. 三角函數之極限
  3. 高斯函數之極限
  4. 連續
  5. 與『 連續 』有關之定理
  6. 漸近線
二、微分
  1. 導數(the Derivative)
  2. 特殊點的微分
  3. 基礎可微函數與微分基本性質
  4. 隱函數微分法(Implicit Differentiation)
  5. 反函數微分
  6. 指數函數與對數函數之微分
  7. 雙曲線三角函數
  8. 高階導函數
三、微分的應用
  1. 羅必達法則(L`Hospital Rule)
  2. 微分定理
  3. 增減、凹凸與極值
  4. 微分在作圖上的應用
  5. 近似值與牛頓近似根法
  6. 微分在經濟學的應用(商科才考)
四、積分的方法
  1. 套用公式法
  2. 第一類有理函數(分母僅含一次因式)
  3. 數變換
  4. 積分之連鎖律
  5. 第二類有理函數(分母含二次因式)
  6. 分部積分法(Part Integral)
  7. 三角函數積分法
  8. 無理函數三角代換法
  9. 半角代換法
五、定積分
  1. 黎曼和與積分型極限
  2. 定積分
  3. 特殊的三角函數積分
  4. 積分基本定理
  5. 瑕積分(Improper Integral)
  6. Gamma函數與Beta函數
六、積分之應用
  1. 面積
  2. 弧長(arc length)
  3. 平面之形心(centroid)、重心
  4. 體積(volume)
  5. 旋轉體之表面積
七、重積分
  1. 二重積分
  2. 重積分之Dirichlet積分變換
  3. 重積分之座標變換
  4. 極座標之重積分
  5. 三重積分
  6. 質心、重心
  7. 非旋轉體之曲面表面積
八、數列與級數
  1. 數列(sequence)
  2. 級數(series)
  3. 正項級數之斂散性
  4. 交錯級數(Alternating Series)
  5. 冪級數之收斂區域
  6. 泰勒定理與泰勒級數
  7. 泰勒級數在『 高階導數 』上的應用
  8. 泰勒級數在積分上的應用
九、向量(工科才考)
  1. 向量之基本運算
  2. 方向導數與梯度
  3. 向量幾何(the Geometry of Vector)
  4. 向量積分(作功)與Green定理
  5. 散度定理與Stoke定理
十、多變函數
  1. 多變函數之極限與連續
  2. 偏導數(partial derivative)
  3. 多變函數之 連鎖律
  4. 隱函數偏微分法
  5. 全微分與近似值
十一、多變函數之極值
  1. 微分法求極值
  2. 代數法求極值
  3. Lagrange乘子法
十二、微分方程式(商科才考)
  1. 微分方程式緒論
  2. 一階分離變數法
  3. 一階線性常微分方程式

三、平常可以多做怎樣的練習,考古題 / 閱讀報紙 …..etc 。

至於微積分之學問層次,因為本科是進入大學殿堂的必備科目,本身即須具有一定深度。光用死背公式或天馬行空毫無重點的學習,是完全不符合學生報考轉學考的需求,而且往往會造成學生在學習上的挫折,產生日後面對數學的障礙!因此,建議同學在選擇老師與補習班時,應該多加留意補習班與師資的成效!所以在此要提醒大家,『親臨試聽』是一定要的啦!

一般來說,各校轉學考的微積分考題,命題教授多會配合微積分之學習潮流出題,因此即使是十年前的考題,與現在的微積分考題亦有很大不同,但須注意的是,考試內容改變最大的是形式,而非難度,例如以往常見的長篇大論式的證明,現在已不常見,甚至有些都出是非與選擇題 ( 考觀念 ) ,考生可多觀察各校歷年考題,掌握命題趨勢。

不要死背公式!死背公式就像難以消化的食物,終必完完整整地排泄出去,留下來的只有痛苦的回憶罷了!同學們在學習每個問題時,要設法將其幾何意義,轉化成生活化的論例,去產生趣味化的聯想, 最好又能想個口訣來北誦 。這樣子,微積分才有可能能從硬梆梆的數字,轉而成為哲學思考的靈感,達到無痛苦學習的境界,進而培養出獨立思考的能力。

四、推薦書目

書名 作者 出版社
微積分魔法書 陳立 、林易、周成 高點出版社
微積分追分寶典上課講義書 陳立、林易、周成 精準出版社
微積分追分寶典必考376題42題型 陳立、林易、周成 精準出版社
二技微積分大進擊(上冊) 陳立 翰伸出版社
二技微積分大進擊 ( 下冊 ) 陳立 翰伸出版社
Calculus: Early Transcendentals 7ht edition James Stewart  
微積分 Hass Pearson
商用微積分 Tan 高立

普通化學準備方向

一、該科目的幾個基本概念必需學起來

普通化學主要的五大領域:

  1. 有機化學
  2. 無機化學
  3. 物理化學
  4. 分析化學
  5. 生物化學

其他領域:

  1. 核化學
  2. 高分子化學 … 等。

普通化學的各種教材大約以 80% 的 無機化學 、 物理化學 、 分析化學 為主。 20% 的基礎入門觀念及有機化學、核化學、生物化學 ( 配位化學或錯合物化學屬無機 ) 。可想而知,屬於 算題形態 及 繁雜敘述化學形態 為本科的主流。

普化考試的準備重點可分為以下八法(天龍八部)

第一部分 基本觀念及計量化學、熱化學(基礎計量一定要先會)
第二部分 原子分子結構、週期性、分子幾何及分子軌域
第三部分 相態化學(氣體、液體及固體、溶液)
第四部分 反應及平衡(水溶液反應、動力學、化學平衡)
第五部分 離子平衡(酸鹼及沈澱)
第六部分 化學熱力學及電化學
第七部分 各族敘述化學
第八部分 錯合物化學、核化學、有機化學、生物化學

結構是化學家的眼睛,故要在第二部分入題才是上策 !

基礎 à 結構學 à 相態 à 變化及平衡 à 敘述 à 專論

的順序貫通普化的學習,能收最大成效。

同學可看出:相態,變化平衡 ( 物理化學的重點 ),即是第三第四第五第六,四大部分。統計起來,是考最多的部分 , 亦是算題及觀念題最重要的部分。

專論:即錯合物化學、核化學、有機化學、生物化學 ( 這方面的重點有些學校考的偏難,已經到了正課的內容了,但題目不多,雖說如此,我們仍然要積極準備 )

二、近年來該科目的轉變與必考重點

各大學教授普通化學的教授或講師,多以化學系無機組老師 ( 必然要擔任普化教學工作 ) 為主,其次是各組老 師輪流 教授普化及安排實驗。由於各校的師資分配不同,但也真正決定了插大轉學考出題的方向。以台大來說:普化課程分為甲、乙、丙三級。之所以會有這種區分,主要為各科系學科背景不同所致。

例如:化學系、化工系、農化系 ( 屬甲級 )
   生科系、藥學系、醫學院 ( 屬乙級 )
   『過去有電機系等系所修普化,現在改為選修或廢除』
    畜產獸醫及其他系 ( 屬丙級 )

有時轉學考還分為 A, B, C, 甲、乙 卷之不同 ( 約有五個等級 )

清大、交大等在新竹與及桃園一帶的學校早已有聯合大學命題的做法了。而中部及南部各校仍為獨立招生,這項趨勢也影響了普化考試的趨向。因為聯合大學考試傾向以選擇題為主,故解題技巧與完全為問答計算的方式不同,值得研究。

私醫考型:偏重基本算題考法及觀念題考法。各領域都有出題記錄。考古題型會是重點。

插大考型:原則上與私醫考型相同,某些國立大學加考了難度高的量子化學、氣體動力論 ( 物理化學程度 ) 、某些無機化學課題 ( 非普化範圍 ) 。主要來自各大原文書習題所致。

三、 平常可以多做怎樣的練習,考古題 / 閱讀報紙 …..etc 。

顯然,原文書是非常重要的工具。我們發現到插大轉的試題,甚至是後中後西醫的試題,常常是原文課本習題一字不改拿來考,這代表著這些原文書的重要性。但學生懼於英文,導致失分,實為可惜。故補習班上課講義必然要中英對照,在專有名詞上一定要告知學生,其他的部分仍要讓學生在讀原文題目是要多下功夫才行。

四、推薦書目

重要的普化原文熱門教材:

  1. Chemical Principle , Zumdahl ( 普化甲熱門教材 ) “ 同作者有多種教材 ”
    *Zumdahl 實為目前國內最重要的普化原文教材,深得普化甲的喜愛!我們發現,來自美國伊利諾大學的 Zumdahl 教授非常認真的讓多位學校老師參與習題的校訂工作,不論是思考或圖文均可達到最好的水準。有不少老師覺得 Zumdahl 內容偏難,但卻仍然將其習題拿來出題,而且就連化學研究所的四大主科都有出自 Zumdahl 習題的現象,代表著這本教科書真的非常重要 ( 多位智囊勝過一位智囊 ) 。
  2. Chemistry, Molecules, Matter, and Change , Atkins
    *P. W. Atkins 來自英國的化學家、通俗科學家,在網路上已赫赫有名。非常出名的化學教育學者。物理化學、無機化學、普通化學都有他的蹤跡。也有不少老師將其列為普化甲重點教材。我們統計,大致上百分之八十的原文題庫都來自於 Zumdahl 及 Atkins ,故同學應該明白哪些普化參考書才是王道了吧!
  3. Chemistry , C. E. Mortimer:* 初學者的救星! C. E. Mortimer ! 在台灣有人將其翻譯成 ” 大學化學 ”是相當老牌的教科書,最值得初學者自修!譯者全是高水準的國內學者。

其他各種普化及化學類原文書

* 其他原文書類別甚多,有些是公元 2000 年才有的新書,亦有參考價值,常常是新的題目出現的根源!但學生準備時間有限,一定要懂得掌握法要,還是以前三大教材為主要準備方向為上策。


計算機概論準備方向

一、該科目的幾個重要基本概念

計算機概論是許多軟硬體課程之基礎,與資訊相關之科系皆需修習,舉凡資訊工程、資訊管理、資訊科學、電機工程外,圖書資訊、醫學資訊與會計資訊等雙專長之科系亦將計算機概論列為基礎科目,故學習此科目之同學背景較廣,不同系所對本科各部分之專注程度亦不相同,資訊科學相關系所在大二和大三課程中幾乎皆會將本科之各個子領域獨立開成一門課,而雙專長之科系較常以本科之某部分發展為其領域之專業應用系統,如:醫療資訊系統、會計資訊系統等,此特色亦反映於轉學考試之出題方向,資訊相關系所總體而言每一部分皆可能為出題來源,雙專長科系則較常以某些單元為出題來源。

章節 重要性 章節 重要性
數字表示法與浮點數 *** 軟體系統概論 ****
布林代數邏輯閘 *** C 語言基本語法 *****
電腦網路 ** 物件導向概論 ***
資料庫 ** C++ *****
管理資訊系統 ** JAVA **
硬體系統概論 **** 資料結構 ****

二、近年來該科目的轉變

名為概論類的課程通常包括多種專業科目,以計算機概論為例,可大略分成以下 6 大科目,簡略描述如下:

單元

內容簡述

基本概論
介紹計算機基本架構,如:范紐曼架構、底層的運算方式,如:進制轉換,以及常見之應用,如:磁碟陣列、錯誤偵測碼、檢查碼等。
程式語言
包括結構化與物件導向程式設計,不同校系有不同出題偏好與語言,但重點在於掌握不同程式設計典範 (Programming Paradigm) 的精神,不同語言間的語法差異可在短時間內克服。
資料結構
描述程式設計與資料應用時常見的結構,轉學考試偏重基本概念,同學須徹底了解不同結構間的差異與適用情況,並能夠寫出各種結構操作之基本演算法。
作業系統
說明協助使用者處理與計算機硬體底層溝通工作之軟體 ( 即:作業系統 ) 之運作原理,並解釋作業系統在面對各個不同硬體部分時,如:記憶體、磁碟機,中央處理器等,資源分配與常見問題的解決方式。
網路
首先介紹網路分層架構,而後可分為有線網路與無線網路探討,電信網路與資料網路亦為常見的分類方式;各層的運作方式與面對的主要問題亦為考試常見之出題來源。
資料庫
介紹計算機對於大量資料的新增、修改、刪除及查詢等操作之實作方式,分為多種不同資料庫類型,但考試仍以關聯式資料庫為主軸,亦有某些學校以 SQL 語言做為命題方向。

除基本概論外, 2~6 每一項目皆為一門專業科目,因此計算機概論考題相當廣泛,準備不易,同學在對每個章節有一定熟練度後採取廣度優先的方式,力求每一章節平均發展,除目標校系有明顯出題導向外,不應過份著重某些章節,否則將導致失衡,對整體實力有負面影響。 就出題方式而言,轉學考和研究所入學考試,計算機概論各校通常皆以中英混合命題,國立大學則以全面英文命題居多。

三、平常可以多做怎樣的練習,考古題 / 閱讀報紙 ...etc

計算機概論的準備方式每一章節各有不同,但整體而言,先求課程內容的通盤了解與熟悉,再向外多方吸收新知,基礎打穩後才可追求廣度,否則兵家必爭之題答錯,能夠脫穎而出的機會將大幅下降。各章節準備方法簡述如下:

單元 內容簡述
基本概論 以架構的方式有條理的分析每一名詞和觀念,除熟悉定義外,常見之應用與運作方式亦不可忽略。
程式語言 首先掌握不同程式設計典範 (Programming Paradigm) 的觀念,行有餘力可進一步訓練自己,面對同一問題或題目時,能夠分別以不同的角度思考並想出解決方案,語法不熟悉時可以虛擬碼代替。
資料結構 對於課本中介紹之基本結構,如:陣列、鏈結串列、堆疊、佇列等務必熟讀,同時須了解基本結構之適用情況與原因,某些校系還會要求同學寫出基本結構之操作演算法。
作業系統 需了解作業系統如何輔助使用者處理與硬體相關之操作,對應之實作方式與可能遇到的問題要進一步整理與比較,許多觀念是共通的,因此同學應跨章節式的整合所學,避免支離破碎的死背。
網路 網路本身又是一門相當廣的單元,面對範圍廣的內容同學應以架構的方式迅速歸類,時時提醒自己當下學習的名詞或觀念屬於整體架構的哪一部份,否則即易迷失於字裡行間。
資料庫 此單元考題較固定,首先了解資料庫的種類、優缺點,而後了解如何將現實世界的問題轉換為資料庫能夠儲存之內容,最後如何透過程式語言對儲存之資料進行查詢與編輯。

以上為簡要準備方向,詳細內容將於課堂時一一描述重要性與準備方法,透過以上分析可稍微體會計算機概論該科之涵蓋範圍極廣,同學應及早準備。

只要能事先掌握下列重點,必能搶得先機,獲取高分。

1. 全盤式了解所有單元的主題,先掌握必考的題型 : 各個單元都有每年必考的問題與題型。事先掌握,先取得入門的基本分數。

2. 將相關單元的題型進行連結並比較,釐清問題的相同相異點 : 考試的題型多半是綜合型考題,也就是結合了數個相關單元,將容易混淆的名詞或觀念彙整為一個新考試題目,如果可以事先比較並進行觀念釐清,有助於問題的回答。此時,已經可以取得超過高標的分數。

3. 分析各學校的考題趨勢與艱澀題型,進行各個擊破 : 各校都有一些具有特色的考題,這些考題可能不常出現在其他學校的試題中。因此,必須針對這些考題特別準備,才可拿到最高分數。

因應上述的情形,老師的教學採用完整觀念的建立法則,搭配使用範例的方式引導,加上分析各校考題的趨勢,破解各校的命題,讓同學不僅能建立完整的觀念,並且有獲取高分能力。

四、總結

計算機概論是ㄧ門涵蓋範圍相當廣的科目,以架構而言可大致分為六大部分,各單元之準備方式有所不同,但皆以「穩固基礎、循序漸進」為最高指導原則,先求深、再求廣,基本型之題目務必能夠拿分,否則勝算較低。

就出題方式而言,許多學校採英文出題,但語言僅為表達觀念之工具,不需過於擔心自己英文程度不佳,可透過原文專有名詞臆測題目意義,但若行有餘力,當然仍可花時間充實語文能力 ,節省考試時閱讀題目之時間,和同學共勉。

物理準備方向

一、該科目的幾個重要基本概念

大一普通物理的教學目標在於:銜接高中物理教材,闡述理工各學門的核心概念,使學生具備堅實的物理基礎,以作為進一步學習高深理工科技的準備。

國家科學發展『中長期計劃』中,八大重點科技:電子、資訊、電信、自動化、機械、航太、光電、材料等,每一項都離不開物理學的主要內容:力學、熱學、聲學、電磁學、光學等,例如其中的光電產業是二十一世紀最具前景的產業,其相關系、所必修的科目有光學、電子學(含實驗)、光電工程導論等等,都需具備紮實的普通物理基礎,才能進一步的探究其堂奧。這就是為何大一普通物理列為理工學院必修且是插大轉學考必考課程的主要原因。

如前所提大一物理是銜接高中物理的,因此對高中畢業的同學而言,內容架構會感覺熟識,但因(一)英文教材、英文試題(二)微積分的應用(三)教授考試題型的活絡多元,使得大一物理在深度、廣度上有別於高中物理。因此高中物理唸得好的同學能需加強英文、微積分的連結與運用。高中沒唸好的(或只唸高工物理的)更需努力於觀念的補強。

大學普通物理與高中物理的差別:

  • 中英文的不同。
  • 台灣理工科系學生需"透過英文學理工",有 90% 以上的學校授用英文書當教材。
  • 學校小考、期中、期末考多半也會以英文命題;更有授課教授還要學生以英文敘述定律或觀念。

轉學考近年來中、英文命題情況:

  97 98 99 100 101 102 103
台大 C E E E E E E
台聯大 E E E E E E  
中興 CE CE CE E E E  
中正 E E E E E E  
成功 C C C C C C  
中山 E E E E E E  

E :英文 C :中文 CE :中文命題

微積分的運用:

這是大一同學面對物理最感困惑的地方,微積分還沒學到,但很多物理題目就需要用微積分才解得開,很多同學因而裏足不前。 其實只有能瞭解微分、積分在物理上的意義,再進一步熟記常用方式,問題即可迎刃而解。

考試題型的多元:

高中物理的考題多以選擇題型出現,但是大一物理則選擇、填充、計算、証明、名詞解釋、觀念闡述等等題型五花八門。

二、近年來該科目的轉變

  • 大學普通物理的重點內容與近年來轉學考的命題趨勢,普通物理涵蓋:力學、波動、熱學、電磁學、光學與近物五大部份,由最近幾年來各名校的考題配分,可略知孰輕孰重。
  力學 波動 熱學 電磁學 光學與近物
台大 101 32 4 4 28 22
102 40 10 10 30 10
103 16 4 12 14 54
台聯大 101 20 8 20 24 28
102 16 24 12 20 28
成大 100 25 0 25 25 25
101 10 15 25 25 25
中山 101 40 8 22 30 0
102 20 10 0 43 27
  • 力學、電磁學仍是命題的主要內容,但是熱學不容忽略,成大對此部份相當重視,每年都考 25% ,台聯大、中山也都曾出現 20% 以上的配分。
  • 光學與近物平均 25% 以上,以前從來不考此部份的中山大學 102 年考 27% ,今年( 103 年)台大更 ” 爆錶考了 54% ,沒有艱澀的計算或論述,例如: Einstein 相對論基本假設, Plank 常數的單位是什麼 ? 核融合的觀念等。
  • 台聯大、計算題難易適中,觀念題目採用複選且倒扣,尤其近物部份若觀念不明確嚴整很容易失分。
  • 成大仍保持中文命題的”古城風味”且以”題目困難度高”著稱,甚至還出現沒準備就寫不出來的証明題,如 100 年的証明 Compton shift equation ,不過近幾年也出現了幾題軟性題目,例如: Plank constant h= ? (至 4 位有效數字)

三、平常可以多做怎樣的練習,考古題 / 閱讀報紙 ...etc

如何讀好大學普通物理:

  • 研讀原文書之前需詳讀“Preface”(緒言或編輯大意),以瞭解本書的編輯方法、特色。
  • 那些章節可酌情取捨
  • 練習題難易之編排情況及各種附註符號所代表的意義。
  • 研讀本書最有效的方法。
  • 針對老師上課所講的部份精讀
  • 專有名詞熟記,有生字必查,生字愈查愈少,愈讀就愈順。
  • 多做每章後面的練習題,利用做題目來瞭解各定律、定理的運用,這也是考試拿高分之鑰。
  • 要有一套持續性的英文自主學習計劃,提升英文讀寫能力厚實日後深造之必備條件。

我們的教學內容與方法:

每本原文書都有上千頁的內容,學校教授的教學,很多是天馬行空不照教本教學的,雖具啟發益智之效,若想僅憑學校的教學內容去參加各名校的轉學考是絕對不夠的。

我們提供的教學重點如下:

  • 綜理力學、波動、熱力學、電磁學、光學及近物等重要概念成 17 講,每部份都佐以各名校相關考題來強化觀念,並掌握考情趨勢。
  • 每講後面彙整中、英文之精選練習題供練習,上課分析討論並附詳解。
  • 每次上課都有需動手練習的隨堂測驗題(共 27 次)英文命題,老師利用課前講解題意、提示重點,課 後 老師親自批改並檢討。
  • 題庫班的考前衝刺:
    • 搜集各名校近 2 、 3 年來的考卷,依章節次序,逐次複習觀念、重點提醒並詳細分析講解考題。
    • 本班教學特色在於掌握重點、觀念講解清晰,紮實鍛練英文題目的解題能力,協助解答同學在學校“無人可問”的難題,使同學在校成績優異,在轉學考上金榜題名兩者兼顧。

四、總結

大學學習階段的幾點建議:

  • 尋找志趣,增強學習動力,明確學習方向:
    大學唸什麼,不等於將來就做什麼。建議大學有機會多做跨領域的學習,聽聽各行各業成功人士的心得分享,找尋自己的興趣,知道自己喜歡什麼學習才有動力、有方向。 就像高點建國名人榜上的兩位同學,李○哲(北科大→台大電機)喜歡鋼鐵人,以後想從事機器人( robot )的研究;許○輔(師大→台大土木),喜歡奧運開幕場景,以後想從事大型會場的規劃設計。有了興趣,就有了學習的動力與方向。
  • 提升學習、整合、輸出的能力:
    有人說知識的半衰期只有 2 年半,大家在大學四年所學的知識學問,不久都將落伍或遺忘,所以在大學四年中最重要的不是塞爆知識學問,而是鍛鍊提升對學識的學習→整合→輸出能力。例如一位名師之養成就是他能不斷地 學習更新 把學到或搜集到的東西 整合組織 並以 清晰明確的講解輸出能力 傳授給無數的莘莘學子。 Einstein 常說“人生就像騎腳踏車,要不停地踩才會前進 ” ,想爬高就要更努力地踩。求學過程也是一樣,只要環境許可就要不間斷地唸,如果中斷了想重新再來就不容易了,祝福大家在學習路上既爬高又能走遠。

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